Génération et propagation ultrasonore appliquée au CND

Allez à : 1. Introduction - 3. Traducteurs - 4. CND par ultrasons - 5. Bibliographie

Plan du chapitre 2 - Ondes élastiques :

2 - Ondes élastiques
2.1 - Principaux types d'ondes
2.2 - Équation de propagation dans les milieux isotropes
2.2a - Milieux fluides
2.2b - Milieux solides


2.2 - Équation de propagation... (suite)

Cette solution nous permet alors de calculer le champ rayonné par un traducteur considéré comme une source de vitesse normale dans un fluide en régime harmonique. Pour le régime impulsionnel on peut sommer toutes les composantes spectrales de la relation (5) :
$\displaystyle \phi(M,t)=\iint_{\Sigma_0} \int_{-\infty}^{+\infty} V_n(P,\omega)\frac{ e^{ -j\omega(t-\frac{r}{c_0})} }{ 2\pi r }~d\omega ~ dS$	(12)
On retrouve ainsi l'équation de Rayleigh reliant le potentiel des vitesses à la vitesse normale dans le plan de la source :
$\displaystyle \phi(M,t)=\iint_{\Sigma_0}V_n(P,t)\otimes\frac{\delta(t-\frac{r}{c_0})}{2\pi r} ~ dS$	(13)

2.2a - Milieux solides
Cette expression permet ainsi de calculer le potentiel scalaire $\phi$ , généré par l'excitation du type fonction de Dirac $\delta(t-t_0)$ à la surface d'émission $\Sigma_0$ appartenant au plan $\Pi_0$ (voir figure 1).
Dans les milieux solides, on caractérise l'onde acoustique par le déplacement particulaire $u_{i}$ et la contrainte mécanique $\sigma_{ij}$ , plutôt que par la vitesse et la surpression moins explicites que dans le cas des fluides. Le tenseur des déformations $S_{kl}$ se définit à partir du déplacement par :
$\displaystyle S_{ij}=\frac{1}{2}\left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j}+ \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$	(14)
$\displaystyle S_{ii}=$ div $\displaystyle (u_{i})=\frac{\partial u_i}{\partial x_i}$	(15)
Le tenseur des contraintes se déduit du tenseur des déformations par la relation de Hooke généralisée :	Bas
$\displaystyle T_{ij}=c_{ijkl}S_{kl}$	(16)
où $c_{ijkl}$ le tenseur des coefficients élastiques. Suivant les symétries du comportement mécanique du matériau considéré, on peut réduire le nombre de composantes indépendantes [2,3]. Dans le cas d'un solide isotrope, on peut exprimer le tenseur des coefficients élastiques en fonction des deux coefficients de Lamé. Si on prend en compte une notation vectorielle l'équation de propagation s'écrit :
$\displaystyle \rho_s \frac{\partial^2\vec{u}}{\partial t^2} = \mu \vartriangle\vec{u} + (\lambda + \mu)~\vec{\nabla}($ div $\displaystyle \vec{u})$	(17)
où $\lambda$ et $\mu$ sont les coefficients de Lamé et $\rho_s$ la densité du solide. Pour résoudre ce type d'équation, on peut utiliser la décomposition du champ de déplacement telle que :
	(18a)
où $\phi$ le potentiel scalaire analogue au potentiel des vitesses décrit pour les milieux fluides, représentant la partie irrotationnelle de l'onde ultrasonore ( $\stackrel{\rightarrow}{\text{rot}}\phi=0$ ) matérialisée par l'onde L. $\vec{\psi}$ est un potentiel vecteur représentant la partie dite solénoïdale du même champ.
Il s'agit en fait de l'onde T pour laquelle la variation relative de volume (i.e. la trace de $S_{ij}$ ) est nulle ( div $~\vec{u}_{T}=0$ ). On utilise ainsi la décomposition (18) pour exprimer de façon découplée, l'équation de propagation pour les deux potentiels :
	(19a)
Les équations (19) sont le résultat du découplage de la propagation ultrasonore dans les solides : on représente ainsi la propagation en onde L (resp. d'une onde T) à la vitesse (resp. ). Dans la suite, on exprime de ces équations le champ vectoriel de déplacement rayonné par un traducteur au contact d'un milieu solide semi-infini.
On suivra une démarche analogue à celle décrite précédemment dans les fluides, mais les conditions à l'interface ne seront pas les mêmes. En effet, le plan du traducteur ( $\Pi_0$ ) n'est plus un baffle rigide (vitesse normale nulle) mais une surface libre (contrainte nulle); d'autres fonctions de Green seront donc à prendre en compte.

	Haut